统计分析（二）

考点2：抽样分布★★?

统计学中把描述总体特征的某种指标称为参数，

把描述从总体中抽取的样本的函数称为样本统计量，

抽样分布就是样本统计量的概率分布。

一般来说，精确的抽样分布是通过正态总体得到的。

由正态总体得到的χ²分布、t分布、F分布，常被称为三大抽样分布。

三大抽样分布以标准正态分布为基石，在实际中有广泛的运用。

（一）正态分布（Normal Distribution）

又称高斯分布，最早由棣莫弗提出，之后由高斯应用推广， 是统计学中最常见也是应用最广泛的一种连续型分布。

若随机变量X的概率密度函数具有如下形式：

则称随机变量X服从期望为μ、标准差为σ的正态分布，记作X～N(μ，σ^2）。

正态分布的累积分布函数形式为：

正态分布的期望E（X）=μ（-∞＜μ<+∞），

方差 D（X）=σ^2（σ＞0）。

正态分布的概率密度函数呈钟形分布，曲线关于x=μ对称，并在x=μ处达到最大值。

曲线的陡峭程度由σ^2决定：

σ2越大，曲线越平坦；σ2越小，曲线越陡峭。

当x趋近于无穷大（或无穷小）时，曲线无限接近于x轴。

? 标准正态分布

? χ²分布

? t分布

? F分布

不同自由度下F分布密度函数曲线图

（四）F分布

则称统计量F服从自由度n₁和n₂的F分布，记为F~F(n₁, n₂)。

2、t分布的概率密度函数图形是以0为中心、左右对称的钟形分布；t分布的图形及其形态变化与自由度n的大小有关。

自由度越小，曲线越平坦；自由度越大，曲线越接近标准正态分布曲线。

当自由度大于30时，图形接近标准正态分布。

（三）t分布

1、t分布（Student's t Distribution）， 设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），Y服从分布χ² (n)，则?　　　　　　　

服从自由度为n的t分布， 记为t~t(n) 。

3、随着自由度n的增大，卡方分布向正无穷方向延伸（均值n变大），分布曲线在形态上也会愈发平坦，即χ²分布的方差与自由度有正向关系。

4、χ²分布具有可加性：

若X~χ²（n₁）?与Y~χ²（n₂）?相互独立，

X+Y服从自由度为（n₁+ n₂）的χ²分布；

X-Y服从自由度为（n₁-n₂）的χ²分布。

（二）χ²分布

1、χ²分布由阿贝（Abbe）于1863年首次提出，是统计学中的一个重要分布。

2、若有n个相互独立且服从标准正态分布的随机变量X₁，X₂，…，X_n?，则可利用这n个随机变量的平方和构成一新的随机变量，其卡方分布规律称为χ²分布。

参数n称为自由度，χ²分布特征由自由度决定。

期望μ=0、标准差σ=1的正态分布被称为标准正态分布。

对于任何一个正态分布X～N(μ，σ^2），都可通过

Z=（X-μ）/σ的线性变换转化为标准正态分布Z～N(0，1）。

对于标准正态分布，有：

Φ(-x)=1 - Φ(x)

其中，Φ(x)为标准正态分布的分布函数。