2017年成人高考高起点文科数学考试章节难点习题(3)
一、选择题
1.(★★★★)设A、B、C、D四点坐标依次是(-1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
2.(★★★★)已知△ABC中， =a， =b，a·b<0，S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )
A.30° B.-150° C.150° D.30°或150°
二、填空题
3.(★★★★★)将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x-5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.
4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_________.
三、解答题
5.(★★★★★)如图，在△ABC中，设 =a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),试用向量a，b表示c.
6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a.
(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标;
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
7.(★★★★★)已知两点M(-1，0)，N(1，0)，且点P使 成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线?
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为 与 的夹角，求tanθ.
8.(★★★★★)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.
(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面;
(2)用向量法证明：BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 .
参考答案
难点磁场
解：(1)点M的坐标为xM= D点分 的比为2.
∴xD= (3)∠ABC是 与 的夹角，而 =(6，8)， =(2，-5).
歼灭难点训练
一、1.解析： =(1，2)， =(1，2)，∴ = ，∴ ∥ ，又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四边形，又| |= ， =(5，3)，| |= ，∴| |≠| },∴ABCD不是菱形，更不是正方形;又 =(4，1)，
∴1·4+2·1=6≠0,∴ 不垂直于 ，∴ABCD也不是矩形，故选D.
答案：D
2.解析：∵ ·3·5sinα得sinα= ,则α=30°或α=150°.
又∵a·b<0,∴α=150°.
答案：C
二、3.(2,0) 4.13 cm
三、5.解：∵ 与 共线，∴ =m =m( - )=m(μb-a),
∴ = + =a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb ①
又 与 共线，∴ =n =n( - )=n(λa-b),
∴ = + =b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b ②
由①②，得(1-m)a+μmb=λna+(1-n)b.
∵a与b不共线，∴ ③
解方程组③得：m= 代入①式得c=(1-m)a+mμb= [λ(1-μ)a+μ(1-λ)b].
6.解：(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.
由已知，得A(0，0，0)，B(0，a,0),A1(0,0, a),C1(- a).
(2)取A1B1的中点M，于是有M(0， a)，连AM，MC1，有 =(- a,0,0),
且 =(0，a,0), =(0,0 a)
由于 · =0， · =0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵ = 所以 所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
7.解：(1)设P(x,y),由M(-1，0)，N(1，0)得， =- =(-1-x,-y), =(1-x,-y), =- =(2,0),∴ · =2(1+x), · =x2+y2-1, =2(1-x).于是， 是公差小于零的等差数列，等价于
所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0)
8.证明：(1)连结BG，则 由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中 = )
(2)因为 .
所以EH∥BD，又EH 面EFGH，BD 面EFGH
所以BD∥平面EFGH.
(3)连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由(2)知 ，同理 ，所以 ，EH FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，所以
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